Recognition of projectively transformed planar figures. IX. Methods for description of ovals with a fixed point on the contour

© 2015 P. P. Nikolayev

Institute for Information Transmission Problems “Kharkevich Institute” RAS, 127994 Moscow, Bolshoy Karetny per., 19

Received 08 Jan 2015

We report algorithmic approaches to the problem of projectively invariant description of ovals for the situations when the basis of such a description consists of singular points of the figure contour, which can be either a priori selected point (in the case of the absence of implicit symmetry of any of the three types: radial, axial, or rotational) or arbitrarily selected positions on the contour (fixed points). Combining the coordinates of these points allows one to estimate the position of hidden symmetry elements of the oval, such as internal poles of rotational or radial symmetry or an external pole of axial symmetry. For an oval showing no symmetry (but having a fixed point), we have developed a procedure of calculation of its wurf-mapping, the structure of which does not require more than two cycles of combining the numbers of vertices that approximate the contour. Invariant analysis of such objects has been considered for the first time. For figures with one (“droplet”) or two (“D” segment) fixed points on the contour, we have developed wurf- mapping evaluation schemes that require a single cycle of vertex processing. We are also describing an algorithm for searching for poles of radial and/or axial symmetry (using the positions of randomly fixed points of the curve), which competes with the method based on the dual polar line technique. The proposed combinatorial methods for analyzing the ovals showing symmetries of different types do not go beyond the boundaries of computational complexity, declared by us (the hierarchy of two cycles of vertex processing)

Key words: oval, invariant, projective transformation, wurf function, tangent, nonlinear dependence of wurf equations, axial and radial symmetry

Cite: Nikolayev P. P.. Raspoznavanie proektivno preobrazovannykh ploskikh figur. ix. metody opisaniya ovalov s fiksirovannoi tochkoi na konture [Recognition of projectively transformed planar figures. ix. methods for description of ovals with a fixed point on the contour]. Sensornye sistemy [Sensory systems]. 2015. V. 29(3). P. 213-244 (in Russian).


  • Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. М.: Мир, 1985. 509 с.
  • Картан Э. Метод подвижного репера, теория непрерывных групп и обобщенные пространства. Сб.: Современная математика. Книга 2-я. М., Л.: Гос. технико-теоретическое изд.-во, 1933. 72 с.
  • Моденов П.С. Аналитическая геометрия. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1969. 699 с.
  • Николаев П.П., Николаев Д.П. Проективно инвариантное распознавание плоских контуров на примере кривых с симметриями // Труды ИСА РАН. 2009. Т. 45. С. 209–221.
  • Николаев П.П. Распознавание проективно преобразованных плоских фигур. III. Обработка осе-симметричных овалов методами анализа поляр // Сенсорные системы. 2011. Т. 25. N 4. С. 275–296.
  • Николаев П.П. Метод проективно инвариантного описания овалов с осевой либо центральной симметрией // Информационные технологии и вычислительные системы. 2014. N 2. С. 46–59.
  • Николаев П.П. Распознавание проективно преобразованных плоских фигур. VII. Методы обнаружения образов осей и центра симметрии овалов при помощи дуальных поляр // Сенсорные системы, 2014. Т. 28. N 4. C 35–67.
  • Николаев П.П. Распознавание проективно преобразованных плоских фигур. VIII. О вычислении ансамбля ротационной корреспонденции овалов с симметрией вращения // Сенсорные системы, 2015. Т. 29. N 1. C 28–55.
  • Овсиенко И.Ю., Табачников С.Л. Проективная дифференциальная геометрия. Старое и новое: от производной Шварца до когомологий групп диффеоморфизмов. М.: МЦНМО, 2008. 280 с.
  • Притула Н.Е., Николаев П.П., Шешкус А.В. Сравнение двух алгоритмов проективно-инвариантного распознавания плоских замкнутых контуров с единственной вогнутостью // Сб. Трудов ИТИС-14, 2014. С. 367–373.
  • Савелов А.А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применения. М.: Гос. изд.-во физико-математической литературы, 1960. 293 с.
  • Фиников С.П. Проективно-дифференциальная геометрия. М.: КомКнига, 2010. 264 с.
  • Alt H., Godau M. Computing the Frechet distance between two polygonal curves // Internat. Computational Geometry and Applications. 1995. V. 5 (1–2). 75–91.
  • Boutin M. Polygon recognition and symmetry detection // Found. Comput. Math. 2003. V.3. 227–271.
  • Faugeras O. Cartan’s moving frame method and its application to the geometry and evolution of curves in the euclidean, affine and projective planes // Applicat. Invar. Comput. Vision / Springer Verlag, Lecture Notes in Computer Science. 1994. V. 825. P. 11–46.
  • Fels M., Olver P.J. Moving coframes. I. A practical algorithm // Acta Appl. Math. 1998. V. 51. P. 161–213.
  • Hann C.E., Hickman M.S. Projective curvature and integral invariants // Acta Appl. Math. 2002. V. 74. No 2. P. 177–193.
  • Musso E., Nicolodi L. Invariant signature of closed planar curves // J. Math. Imaging and Vision. 2009. V. 35. No 1. P. 68–85.
  • Olver P.J. Equivalence, Invariants and Symmetry // Cambridge. Cambridge Univ. Press. 1995. 525 P.
  • Olver P.J. Geometric foundations of numerical algorithms and symmetry // Appl. Alg. Engin. Comp. Commun. 2001. V. 11. P. 417–436.
  • Pritula N., Nikolaev D., Sheshkus A., Pritula M., Nikolaev P. Comparison of two algorithms of projectiveinvariant recognition of the plane boundaries with the one concavity // The 7th International Conference on Machine Vision (ICMV 2014), 944508 (February 12, 2015) 2014. Milan, Italy, Nov. 19–21.